Nace en San Sebastián en 1977 y desde la infancia muestra una gran pasión por el cine. Se licenció en Comunicación Audiovisual por la Universidad del País Vasco. Sus primeros trabajos como director, guionista y editor fueron diversos cortometrajes, entre los cuales destacan Usura (1995), El principio del fin (1996), Cupido es áspero (1998) y El amor en tiempos de burocracia (1999). En 2001, dirigió La primera vez, cortometraje que obtuvo una nominación en la XVI edición de los Premios Goya en 2002. Al año siguiente, en 2003 asumió la dirección del programa de humor Vaya semanita de ETB, participando activamente en la creación de sus guiones. Cobeaga ha desempeñado roles destacados como realizador en programas televisivos como Gran Hermano, Confianza ciega, El submarino y Territorio Champiñón, entre otros. Además, fue subdirector en Made in China, de TVE, y guionista de teleseries como Splunge o En buena compañía.
En 2004, tras ganar el Premio al Mejor Proyecto en nuestro festival, Borja Cobeaga rodó su cortometraje Éramos pocos aquí en Medina del Campo, con la participación de Mariví Bilbao, Alejandro Tejería y Ramón Barea, obteniendo posteriormente una nominación sin precedentes a los premios Óscar. En 2005, co-fundó las productoras Arsénico y Sayaka junto a Borja Crespo, Nahikari Ipiña, Koldo Serra y Nacho Vigalondo. Su primera incursión fue con el largometraje Los cronocrímenes de Nacho Vigalondo. En 2006, colaboró en el guion de la película La máquina de bailar, dirigida por Óscar Áibar. Posteriormente, se dedicó a la dirección de varios anuncios publicitarios para marcas como Heineken o Microsoft.
Su primer largometraje, Pagafantas, protagonizado por Gorka Otxoa y coescrito con Diego San José, se estrenó en salas comerciales en 2009 y fue dos veces nominado en la XXIV edición de los Premios Goya de 2010: Borja Cobeaga como mejor director novel y Gorka Otxoa como mejor actor revelación. Su segundo largometraje, No controles, llegó a los cines en 2011 con un elenco destacado que incluía a Unax Ugalde y Alexandra Jiménez. El éxito de la película se coronó con el Premio del Público en el Festival du Cinéma Espagnol de Nantes. En 2013, Cobeaga dirigió Democracia, un cortometraje que también le valió el premio al mejor cortometraje en dicho festival.
En 2014, colaboró en la redacción del guion de la exitosa película Ocho apellidos vascos. También ese año, estrenó su tercer largometraje como director, Negociador, una tragicomedia inspirada en las conversaciones entre el Gobierno español y ETA durante la tregua de 2005. Posteriormente, junto con Diego San José, participó en el guion de Ocho apellidos catalanes y en la adaptación cinematográfica del cómic Superlópez, que se convirtió en la segunda película española más taquillera de 2018.
Posteriormente estrena la comedia negra Fe de etarras (2017) en la plataforma Netflix, donde muestra una crítica inteligente y mordaz sobre la violencia y los prejuicios. En 2019, co-dirige junto a Nacho Vigalondo, la desternillante serie Justo antes de Cristo, para Movistar+.
Por su extraordinaria trayectoria y por ser un fiel defensor del Cortometraje, la Semana de Cine de Medina del Campo Otorga el ROEL de DIRECTOR del SXXI a BORJA COBEAGA.