Nacida en Barcelona en 1985, se forma en el grado de Relaciones Públicas y Marketing en la Universidad Ramon Llull de Barcelona, seguido de un máster en Política y Medios. De manera inesperada, su vida da un giro cuando su hermana la invita a un curso de teatro en la escuela de arte dramático de Nancy Tuñón y Jordi Oliver; finalmente, abandona su carrera publicitaria para dedicarse a la interpretación. La carrera actoral de Costa despegó en 2011 con un papel recurrente en la serie de Antena 3, Bandolera. Posteriormente, cautiva a los telespectadores al asumir el papel protagonista en Pulseras Rojas (2011), una serie creada por Albert Espinosa. Además, ha participado en otras series notables como Cuéntame un cuento (2014), Carlos, Rey Emperador (2016), y Foodie Love (2019), en la que comparte espacio con Isabel Coixet. En 2015, da el salto al cine con Victoria, dirigida por Sebastian Schipper, que le vale el reconocimiento internacional, convirtiéndose en la primera actriz no alemana en obtener un Lola (Deutscher Filmpreis) como Mejor interpretación femenina protagonista. Cruza el charco hacia Argentina y rueda Nieve negra de Martín Hodara y junto con Ricardo Darín, Leonardo Sbaraglia o Federico Luppi. También participa en Newness (Drake Doremus, 2017) siendo nominada al BAFTA como Mejor actriz revelación. Otros de sus proyectos cinematográficos son: Maine (Matthew Brown, 2018) Piercing (Nicolas Pesce, 2018), Duck Butter (Miguel Arteta, 2018), Only You (Harry Wootliff, 2018) y Como la vida misma (2018) del director Dan Fogelman y en cuyo reparto se encuentran Antonio Banderas, Olivia Wilde o Samuel L. Jackson.